連立微分方程式 連立計算を殆ど説明してなかったので、ODEに絞って、かつ線形同次に限定して説明を試みようと思う。その前に少し前置きを。 系という日本語があるが、連立方程式（system of equation）を和訳して方程式系と誤訳されてしまうケースが偶に見受…

C3 ラプラス方程式（三次元、球座標） PDEの最後は、下図のような球座標で、ラプラス方程式を求めてみよう。 基本のラプラス方程式は式（1）、デカルト座標では式（2）で表される「u(x,y,z)」。 球座標では、デカルト座標との次の関係 、、......(3) を利用…

計算例 （2）Mathematica（級数解） 次はWolfram CloudのMathematicaだ。Mapleではpdsolveコマンドだけで最終解に辿り着けなかった事に比較すると、今回のMathematicaの計算結果は優秀である。DSolveコマンドだけで解析解が出力されている。若干、補足してお…

A2 波動方程式（二次元） A1では一次元の例として弦の振動を扱ったが、今回は二次元ではあるが、極座標を用いて、円形膜の振動（太鼓）を考える。 デカルト座標（直交座標の事）では式（1）で表される。 円形膜の振舞を考えるので、これを極座標に修正する。…

C2 ラプラス方程式 （二次元） 楕円型の方程式で有名なのがラプラス方程式（またはポアッソン方程式）だ。時間依存項がないので、定常状態に落ち着いた現象の解析に多用される。技術的な現場では、時間依存を無視出来る場合など、結構応用範囲は広い。流体問…

計算例 （4）Mapleによる数値解析結果（差分法）が出来たので、アップしよう。オプションにnumericを用いて数値解析すると、解析解では使えなかったpiecewise関数が使えた（Mathematicaと同様）ので大分スッキリした。 ------------------------------------…

B1 熱伝導方程式（一次元） 長い金属棒（針金）を伝わる熱伝導を考える（拡散現象も同じ系統である）。長さについては、無限長や半無限長は工学的に重要では無い（数学的にはフーリエ変換を用いるので興味がないわけではない）ので除外し、物理的に長さを指…

A1 波動方程式（一次元）パート2 パート1ではソフトウェアのコマンドや簡単なコードで解が得られるものを紹介した。パート2では、なぜそのような解が得られるのか？数学的に教育的に追ってみた。ここまでくるとLive math makerでは力不足なので、Mapleで仕上…

偏微分方程式（以下PDE） 独立変数が複数になるので、ODEに比べ複雑さは桁違いだ。それでも適用アプリケーションが存在するので、できるだけ紹介していきたい。 方程式には1階、2階という階数があるが、自然界の法則を表現するPDEには2階が非常に多い。何故…

BB非解析解 1. 数値解析解 AAでは解が陽的に数式で得られるケースを挙げたが、自然界の振舞を表すODEはそれだけではない。非線形現象のためむしろ数式で表せない方が圧倒的に多い。そんな時は数値解析手法に頼る事になる。つまりAAで頑張っても解けない場合…