AA解析解
2. 線形ODE
のうち、応用例の多い2階定数係数ODEを考える。式（4）を2階に、またその係数を定数に置き換えると、
ここでa、bは定数である。
（i）初めに次のような2階定数係数同次方程式から始める（右辺＝0）。
式（5）の基本解が三角関数や指数関数で表せるパターンが多いことが知られているから、式（6）のy(x)にe^λxを予想して代入してみる。ここでλはC級（複素数全体）である。
整理すると、
式（8）が成り立つためには、
式（9）（特性方程式という）が成り立てば良い（e^λxは非ゼロだから）。ここで見覚えのある2次方程式の解の公式の判別式D（平方根内部）を借用すれば、その値によって２つの特性解が異なってくるはずである。式（6）の一般解をまとめてみると、
・D > 0（特性解が異なる実数λ1、λ2）
・D = 0（特性解が１つの実数で、重解λ1）
・D < 0（特性解が複素共役で、λ1＝ p + qi、λ2＝p - qi）
(ii) 次に2階定数係数非同次方程式を解く事を考える（定数変化法）。
式（13）の一般解は、同次方程式（6）の基本解２つy1(x)、y2(x)を用いて、次のように表せる。
計算例
（1）数式処理ツールMapleの計算結果を以下に示す。2階になって難しさが増えたはずだが、同次・非同次に関係なく、ほぼ一発で回答してきた。非同次EQを解く方法は大きく三つある。積分因子法、未定係数法、定数変化法である。Maple内部はよく解らないが、右辺の式で解法パターンを分けているはずだ。本例題の右辺は多項式なので、おそらく未定係数法だろう。
---------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------
（2）次はWolfram CloudのMathematicaの計算結果だ。Mapleと同様に一発回答だ、素晴らしい。気を付けなければならないのは積分定数だ。記号は同じでも、同次式と非同次式では中身が異なる。
---------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------
（3）次は、オープンソースの数式処理ツールwxMaximaによる計算結果だ。今回の積分定数は%k1、％k2になってきた。%cとどのように使い分けているかは不明。
--------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------
（4）最後は教育的な（？）LiveMathによる計算結果だ。積分定数は最終的にA1、A2に置き換えてある。ページ数が大きいので、適宜分けて掲載する。
右辺の関数形に限定されない定数変化法でトライしたが、手計算だとこんな感じになってしまう。やはり、右辺の関数を見て適切な未定係数法を選択すべきだね。ロンスキー行列式や不定積分の公式は説明なしに使っているので、気になる人は教科書見てね。
とにかく、上に紹介したツールがどの位優秀なのかが理解出来るはずだ。
------------------------------------------------------------------------------------
同次（homogeneous）
非同次（inhomogeneous）はページが膨大なので分けて掲載する。
part1
part2
part3
---------------------------------------------------------------------------------------
今回学ぶ事は「ODEの手計算チェックは最後にしよう」だ。先見事項は一発回答してくれるフリーのツールを複数試して同じ回答になることを確認することだ。
手計算する際に、様々な公式が必要になる。今回は公式集を紹介する。
